Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika

9.1 Základní poznatky z kombinatoriky a pravděpodobnosti

Základní kombinatorická pravidla

Kombinatorika se zabývá počítáním možností, jak uspořádat nebo vybrat objekty. Základní kombinatorická pravidla zahrnují:

Princip součtu: Pokud existují \( n \) možností pro jeden jev a \( m \) možností pro jiný, pak je celkový počet možností \( n + m \).

Princip násobení: Pokud existují \( n \) možností pro jeden jev a \( m \) možností pro druhý jev nezávisle na prvním, pak je celkový počet možností \( n \times m \).

Kombinatorické skupiny

Kombinatorické úlohy se mohou rozdělit do několika skupin:

Variace s opakováním: Počet uspořádaných výběrů \( k \) prvků z \( n \) prvků s opakováním je:

V(n, k) = n^k

Příklad: Kolik různých čísel lze vytvořit, pokud máme 3 číslice a každá může být od 0 do 9?

V(10, 3) = 10^3 = 1000

Variace: Počet uspořádaných výběrů \( k \) prvků z \( n \) prvků bez opakování je:

V(n, k) = n! / (n - k)!

Příklad: Kolik různých 2-místných čísel lze vytvořit z 5 číslic?

V(5, 2) = 5! / (5 - 2)! = 5 × 4 = 20

Pernutace: Počet uspořádaných výběrů všech \( n \) prvků je:

P(n) = n!

Příklad: Kolik různých způsobů lze uspořádat 4 knihy na polici?

P(4) = 4! = 24

Kombinace bez opakování: Počet neuspořádaných výběrů \( k \) prvků z \( n \) prvků je:

C(n, k) = n! / (k! × (n - k)!)

Příklad: Kolik různých skupin 3 lidí lze vybrat z 7 lidí?

C(7, 3) = 7! / (3! × (7 - 3)!) = 35

Faktoriály a kombinační čísla

Faktoriál čísla \( n \), označovaný jako \( n! \), je součin všech kladných celých čísel od 1 do \( n \). Kombinační číslo \( C(n, k) \) vyjadřuje počet způsobů, jak vybrat \( k \) prvků z \( n \) bez ohledu na pořadí.

Pojmy pravděpodobnosti

V pravděpodobnosti se pracuje s následujícími pojmy:

Náhodný pokus: Činnost, která může mít více než jeden výsledek, např. hod kostkou.

Výsledek náhodného pokusu: Jeden z možných výstupů, např. padnutí čísla 4 při hodu kostkou.

Náhodný jev: Jakákoliv událost, která se může nebo nemusí stát, např. padnutí sudého čísla při hodu kostkou.

Opačný jev: Jev, který nastává, pokud původní jev nenastane.

Nemožný jev: Jev, který nemůže nastat.

Jistý jev: Jev, který nastane vždy.

Výpočet pravděpodobnosti

Pravděpodobnost náhodného jevu \( A \) je určena jako:

P(A) = Počet příznivých výsledků / Počet všech možných výsledků

Příklad: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu fair kostkou padne číslo větší než 4?

P(A) = 2 / 6 = 1 / 3 ≈ 0.333

Narozeninový problém

Narozeninový problém je matematický jev, který tvrdí, že ve skupině 50 náhodně vybraných lidí existuje 97% šance, že minimálně dva z nich budou mít narozeniny ve stejný den. Pokud Vás zajímá více přečtěte si článek narozeninový problém.

9.2 Základní poznatky ze statistiky

Četnost označuje počet výskytů konkrétní hodnoty v souboru. Relativní četnost je podíl četnosti konkrétní hodnoty na celkovém počtu pozorování.

Hodnota	Četnost	Relativní četnost
1	3	0.30
2	5	0.50
3	2	0.20

Grafické znázornění

Četnosti lze graficky znázornit pomocí různých typů grafů:

Sloupcový graf: Ukazuje četnost každé hodnoty jako sloupec.

Histogram: Sloupcový graf pro kvantitativní údaje, který ukazuje rozdělení hodnot.

Koláčový graf: Ukazuje procentuální podíl každé hodnoty na celkovém souboru.

Histogram zobrazující četnosti různých hodnot.

Charakteristiky polohy a variability

Statistické charakteristiky nám poskytují informace o poloze a variabilitě dat:

Aritmetický průměr: Součet všech hodnot dělený jejich počtem.

Medián: Střední hodnota, která dělí soubor na dvě stejně velké části.

Modus: Hodnota, která se vyskytuje nejčastěji.

Percentil: Hodnota, pod kterou leží určité procento dat.

Rozptyl: Měří průměrné kvadratické odchylky od aritmetického průměru.

Směrodatná odchylka: Druhá odmocnina z rozptylu, ukazuje průměrnou vzdálenost hodnot od průměru.

Příklad výpočtu aritmetického průměru:

Pro hodnoty 4, 8, 6, 5, 9:

Průměr = (4 + 8 + 6 + 5 + 9) / 5 = 32 / 5 = 6.4