Tahák z matematiky

Stručný přehled nejdůležitějších pojmů a vzorců z matematiky na jednu stránku. Hodí se jako rychlé opáčko před testem nebo maturitou.

Mocniny a odmocniny

• aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
• a⁰ = 1 (pro a ≠ 0), a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
• Odmocnina je opačná operace k mocnění: (ⁿ√a)ⁿ = a.

Množiny a výrazy

• Množina je souhrn navzájem různých prvků.
• Sjednocení, průnik a rozdíl množin jsou základní množinové operace.
• Mnohočlen se upravuje sčítáním, odčítáním, násobením a rozkladem na součin.

Lineární rovnice a nerovnice

• Lineární rovnice má tvar ax + b = 0, řešení x = −b/a (pro a ≠ 0).
• Při násobení/dělení nerovnice záporným číslem se otáčí znaménko nerovnosti.
• Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými se řeší dosazovací, sčítací nebo srovnávací metodou.

Kvadratická rovnice

• Tvar: ax² + bx + c = 0.
• Diskriminant: D = b² − 4ac.
• Kořeny: x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a). Pro D > 0 dva kořeny, D = 0 jeden, D < 0 žádný reálný.
• Vietovy vzorce: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a.

Funkce

• Lineární funkce: y = ax + b, grafem je přímka.
• Kvadratická funkce: y = ax² + bx + c, grafem je parabola.
• Definiční obor – množina přípustných hodnot x, obor hodnot – množina výsledných y.
• Exponenciální funkce y = aˣ (a > 0, a ≠ 1) je rostoucí pro a > 1, klesající pro 0 < a < 1.
• Logaritmus je opačná operace k umocňování.

Goniometrické funkce

• V pravoúhlém trojúhelníku: sin = protilehlá/přepona, cos = přilehlá/přepona, tg = protilehlá/přilehlá.
• Pythagorova věta: a² + b² = c² (c je přepona).
• Goniometrické funkce jsou periodické.

Planimetrie – obsahy a obvody

• Obdélník: S = a · b. Trojúhelník: S = ½ · základna · výška.
• Kruh: S = πr², obvod o = 2πr.
• Čtverec: S = a². Lichoběžník: S = ½(a+c) · v.

Stereometrie – objemy a povrchy

• Kvádr: V = a · b · c. Krychle: V = a³.
• Válec: V = πr² · v.
• Koule: V = (4/3)πr³.
• Jehlan: V = ⅓ · obsah podstavy · výška.

Kombinatorika

• Faktoriál: n! = 1 · 2 · 3 · … · n (0! = 1).
• Variace, kombinace a permutace se liší podle toho, zda záleží na pořadí a zda se prvky opakují.
• Kombinační číslo udává počet způsobů výběru k prvků z n bez ohledu na pořadí.

Pravděpodobnost

• Pravděpodobnost jevu = počet příznivých výsledků / počet všech možných výsledků.
• Pravděpodobnost jistého jevu je 1, nemožného jevu je 0.

Posloupnosti a řady

• Aritmetická posloupnost – každý další člen vznikne přičtením konstantní diference k předchozímu.
• Geometrická posloupnost – každý další člen vznikne vynásobením předchozího členu konstantním kvocientem.

Analytická geometrie

• Vzdálenost dvou bodů v rovině se počítá pomocí Pythagorovy věty.
• Přímka v rovině může mít obecnou rovnici ax + by + c = 0.

Statistika – základní pojmy

• Aritmetický průměr = součet hodnot / jejich počet.
• Medián je prostřední hodnota seřazeného souboru dat.
• Modus je nejčastěji se vyskytující hodnota v souboru.

Absolutní hodnota

• Absolutní hodnota čísla je jeho vzdálenost od nuly na číselné ose, vždy nezáporná.

Číselné obory

• Přirozená, celá, racionální, iracionální a reálná čísla tvoří postupně širší číselné obory.

Procenta

• Jedno procento je setina celku (1 % = 0,01).
• Výpočet části z celku: část = (celek · počet procent) / 100.
• Úrok, sleva nebo daň se v praxi často počítají právě pomocí procent.

Podobnost a shodnost trojúhelníků

• Shodné trojúhelníky mají stejný tvar i velikost, podobné mají stejný tvar v jiném měřítku.
• U podobných trojúhelníků jsou odpovídající si strany ve stejném poměru.
• Shodnost/podobnost trojúhelníků se dokazuje pomocí vět sss, sus, usu (shodnost) nebo jejich obdob u podobnosti.

Vektory – základ

• Vektor má velikost i směr, na rozdíl od skaláru, který má jen velikost.
• Vektory lze sčítat, odčítat a násobit reálným číslem.