Stereometrie

1. Základní geometrická tělesa

Stereometrie je část matematiky, která se zabývá prostorovými útvary a jejich vlastnostmi. V této části se podíváme na charakteristiku a výpočty objemů a povrchů základních prostorových těles:

Krychle

Krychle je pravidelný mnohostěn, jehož všechny hrany jsou stejně dlouhé. Krychle má 6 stejných čtvercových stěn, 12 hran a 8 vrcholů.

Vzorec pro objem: V = a × a × a

Vzorec pro povrch: S = 6 × a × a

Výpočet objemu a povrchu:

Délka hrany krychle je a = 4 cm.

Objem bude:

V = 4 × 4 × 4 = 64 cm³

Povrch bude:

S = 6 × 4 × 4 = 96 cm²

Kvádr

Kvádr je těleso se šesti obdélníkovými stěnami. Může mít různé délky, šířky a výšky.

Vzorec pro objem: V = a × b × c

Vzorec pro povrch: S = 2 × (ab + bc + ac)

Výpočet objemu a povrchu:

Pokud má kvádr rozměry a = 3 cm, b = 4 cm a c = 5 cm.

Objem bude:

V = 3 × 4 × 5 = 60 cm³

Povrch bude:

S = 2 × (3 × 4 + 4 × 5 + 5 × 3) = 2 × (12 + 20 + 15) = 2 × 47 = 94 cm²

Hranol

Hranol je těleso s dvěma rovnoběžnými základnami a bočními stěnami, které jsou obdélníky. Hranol může mít libovolný tvar základny.

Vzorec pro objem: V = S_z × v, kde S_z je obsah základny a v je výška hranolu.

Vzorec pro povrch: S = 2 × S_z + S_pl, kde S_pl je obsah pláště.

Výpočet objemu a povrchu:

Pokud má hranol základnu ve tvaru čtverce s délkou strany a = 6 cm a výšku h = 10 cm.

Objem bude:

              S_z = 6 × 6 = 36 cm²

              V = 36 × 10 = 360 cm³

Povrch bude:

              S_pl = 4 × 6 × 10 = 240 cm²

              S = 2 × 36 + 240 = 312 cm²

Jehlan

Jehlan je těleso s jednou základnou (která může mít libovolný tvar) a bočními stěnami, které jsou trojúhelníky. Všechny boční stěny se setkávají v jednom vrcholu.

Vzorec pro objem: V = 1/3 * S_p * v, kde S_p je obsah podstavy a v je výška jehlanu (kolmá vzdálenost mezi základnou a vrcholem).

Vzorec pro povrch: S = S_p + S_pl

Výpočet objemu a povrchu:

Pokud má jehlan základnu ve tvaru čtverce s délkou strany a = 4 cm a výšku h = 9 cm.

Objem bude:

              S_p = 4 × 4 = 16 cm²

              V = 1/3 × 16 × 9 = 48 cm³

Povrch bude:

              S_p = 4 × 4 = 16 cm

              S = 16 + 1/2 × 16 × 5 = 16 + 40 = 56 cm²

Rotační válec

Rotační válec je těleso vytvořené rotací obdélníku kolem jedné z jeho stran. Má dvě základny (kruhy) a boční plochu, která je obdélník.

Vzorec pro objem: \( V = \pi r^2 \cdot h \), kde \( r \) je poloměr základny a \( h \) je výška válce.

Vzorec pro povrch: \( S = 2\pi r \cdot (r + h) \).

Výpočet objemu a povrchu:

Pokud má válec poloměr základny \( r = 5 \) cm a výšku \( h = 12 \) cm, objem bude:

V = π × 5² × 12 = 300π cm³ ≈ 942.48 cm³

Povrch bude:

S = 2π × 5 × (5 + 12) = 2π × 85 = 170π cm² ≈ 534.07 cm²

Rotační kužel

Rotační kužel je těleso vytvořené rotací trojúhelníku kolem jedné z jeho stran. Má jednu základnu (kruh) a boční plochu, která je kuželový povrch.

Vzorec pro objem: \( V = \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot h \).

Vzorec pro povrch: \( S = \pi r \cdot (r + s) \), kde \( s \) je úhlová výška (slope height).

Výpočet objemu a povrchu:

Pokud má kužel poloměr základny \( r = 4 \) cm a výšku \( h = 9 \) cm, objem bude:

V = 1/3 × π × 4² × 9 = 48π cm³ ≈ 150.80 cm³

Povrch bude:

              s = √(4² + 9²) = √(16 + 81) = √97 ≈ 9.85 cm

              S = π × 4 × (4 + 9.85) = 4π × 13.85 = 55.4π cm² ≈ 174.53 cm²

Komolý jehlan

Komolý jehlan je podobný jehlanu, ale jeho základna je zmenšená. Má dvě rovnoběžné základny a boční plochy, které jsou trapézy.

Vzorec pro objem: \( V = \frac{h}{3} \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2}) \), kde \( S_1 \) a \( S_2 \) jsou obsahy obou základnách.

Vzorec pro povrch: \( S = S_1 + S_2 + P_b \cdot s \), kde \( P_b \) je obvod boční základny a \( s \) je výška bočních ploch.

Výpočet objemu a povrchu:

Pokud má komolý jehlan základny s obsahy \( S_1 = 20 \) cm² a \( S_2 = 10 \) cm² a výšku \( h = 15 \) cm, objem bude:

              V = 15 / 3 × (20 + 10 + √(20 × 10)) = 5 × (30 + √200) = 5 × (30 + 14.14) = 5 × 44.14 = 220.70 cm³
          

Povrch bude:

              Obvod boční základny, P_b = 2 × (√20 + √10) ≈ 2 × (4.47 + 3.16) = 2 × 7.63 = 15.26 cm

              S = 20 + 10 + 15.26 × s ≈ 30 + 15.26 × 5 = 30 + 76.30 = 106.30 cm²

Koule

Koule je těleso, kde všechny body jsou stejně vzdálené od středu. Je to těleso s maximálním objemem pro daný povrch.

Vzorec pro objem: V = 4/3 × π × r³, kde r je poloměr koule.

Vzorec pro povrch: S = 4 × π × r²

Výpočet objemu a povrchu:

Pokud má koule poloměr r = 7 cm.

Objem bude:

V = 4/3 × π × 7³ = 1436.76 cm³

Povrch bude:

S = 4 × π × 7² ≈ 615.75 cm²