Rovnice a nerovnice jsou základními pojmy algebraické matematiky. Rovnice obsahují rovnítko (=), které odděluje levou a pravou stranu rovnice. Nerovnice obsahují symboly nerovností (<, >, ≤, ≥).
Rovnice: Algebraický výraz, ve kterém jsou dvě strany oddělené rovnítkem.
Nerovnice: Algebraický výraz, ve kterém jsou dvě strany oddělené symbolem nerovnosti.
Každá rovnice nebo nerovnice má svůj definiční obor, což je množina všech možných hodnot, které mohou být dosazeny za neznámou, aby byla rovnice nebo nerovnice definována.
Příklad: Rovnice 3x + 2 = 11 má levou stranu 3x + 2 a pravou stranu 11. Kořen této rovnice je hodnota x, která splňuje tuto rovnici. V tomto případě je to x = 3.
Při řešení rovnic a nerovnic často používáme ekvivalentní úpravy, což jsou operace, které nemění množinu všech řešení.
Příklad: Rovnici 3x + 2 = 11 můžeme upravit následujícím způsobem:
3x + 2 - 2 = 11 - 23x = 9x = 3Po nalezení kořene rovnice je dobré provést zkoušku, tedy dosadit kořen zpět do původní rovnice a ověřit, zda je rovnost splněna.
Příklad: Pro rovnici 3x + 2 = 11 a kořen x = 3:
x = 3 do původní rovnice: 3(3) + 2 = 119 + 2 = 11Lineární rovnice o jedné neznámé mají tvar ax + b = 0, kde a a b jsou konstanty.
Příklad: Řešení rovnice 2x - 4 = 0:
2x - 4 + 4 = 0 + 42x = 4x = 2Často potřebujeme upravit vzorec tak, abychom izolovali jednu proměnnou. To znamená, že upravíme rovnice tak, aby daná proměnná byla sama na jedné straně rovnice.
Příklad: Vyjádření x ze vzorce y = 3x + 7:
y - 7 = 3xx = \frac{y - 7}{3}Rovnice v součinovém tvaru jsou ve formě (ax + b)(cx + d) = 0. Kořeny takových rovnic najdeme, když jednotlivé členy rovnice položíme rovné nule.
Příklad: Řešení rovnice (x - 3)(2x + 1) = 0:
x - 3 = 0, kořen je x = 32x + 1 = 0, kořen je x = -\frac{1}{2}x = 3 a x = -\frac{1}{2}Soustavy lineárních rovnic můžeme řešit několika metodami, jako je metoda sčítací, dosazovací a grafická metoda.
Příklad: Řešení soustavy rovnic:
2x + 3y = 64x - 3y = 12Sečteme obě rovnice:
(2x + 3y) + (4x - 3y) = 6 + 126x = 18x = 3Dosadíme x = 3 do první rovnice:
2(3) + 3y = 66 + 3y = 63y = 0y = 0Řešením soustavy je (x, y) = (3, 0).
Při řešení rovnic s neznámou ve jmenovateli je důležité stanovit definiční obor, tj. hodnoty, pro které je rovnice definována.
Příklad: Pro rovnici \frac{2x + 1}{x - 3} = 4 je definiční obor x \neq 3, protože jmenovatel nesmí být roven nule.
Při řešení těchto rovnic nejprve eliminujeme jmenovatel, abychom získali klasickou algebraickou rovnici.
Příklad: Řešení rovnice \frac{2x + 1}{x - 3} = 4:
x - 3: 2x + 1 = 4(x - 3)2x + 1 = 4x - 122x z obou stran: 1 = 2x - 1213 = 2xx = \frac{13}{2}Kvadratické rovnice mají tvar ax^2 + bx + c = 0. Můžeme je řešit pomocí rozkladu na součin, dosazením do kvadratické formule nebo doplněním na čtverec.
Příklad: Řešení kvadratické rovnice x^2 - 5x + 6 = 0:
(x - 2)(x - 3) = 0x - 2 = 0 a x - 3 = 0x = 2 a x = 3Pro kvadratickou rovnici ax^2 + bx + c = 0 platí Vietaovy vztahy, které říkají, že součet kořenů je -b/a a součin kořenů je c/a.
Příklad: Pro rovnici x^2 - 5x + 6 = 0:
x_1 = 2 a x_2 = 32 + 3 = 5, což je -(-5)/12 * 3 = 6, což je 6/1Lineární nerovnice mají tvar ax + b \le c. Řešíme je podobně jako rovnice, ale při násobení nebo dělení nerovnosti záporným číslem obracíme znak nerovnosti.
Příklad: Řešení nerovnice 2x - 3 \le 7:
2x - 3 + 3 \le 7 + 32x \le 10x \le 5Soustavy lineárních nerovnic řešíme podobně jako jednotlivé nerovnice, ale hledáme společné řešení všech nerovnic v soustavě.
Příklad: Řešení soustavy nerovnic:
x - 2 \ge 0 (1)3x + 1 \le 10 (2)Řešení první nerovnice:
x - 2 \ge 0x \ge 2Řešení druhé nerovnice:
3x + 1 \le 103x \le 9x \le 3Společné řešení soustavy nerovnic je interval \langle 2, 3 \rangle.