Posloupnosti a finanční matematika

5.1 Základní poznatky o posloupnostech

Posloupnost je uspořádaná množina čísel, kde každé číslo se nazývá člen posloupnosti. Členy posloupnosti jsou obvykle označovány jako a₁, a₂, a₃, ....

Aplikace funkcí na posloupnosti

Definice posloupnosti: Posloupnost může být definována explicitním vzorcem, například a_n = 2n + 1.
Grafické znázornění: Graf posloupnosti ukazuje hodnoty členů na ose y proti pořadí na ose x.
Výpočet prvků: Můžeme spočítat prvky posloupnosti dosazením hodnoty n do vzorce.

5.2 Aritmetická posloupnost

Definice a význam diference

Aritmetická posloupnost je posloupnost, kde rozdíl mezi každým dvěma po sobě jdoucími členy je konstantní. Tento rozdíl se nazývá diference a označuje se jako d.

Příklad: Posloupnost 2, 5, 8, 11, ... je aritmetická s diferencí d = 3.

Základní vzorce

Obecný člen: a_n = a₁ + (n - 1) * d, kde a₁ je první člen a d je diference.
Suma prvních n členů: S_n = n / 2 * (2a₁ + (n - 1) * d)

Příklad: Pro aritmetickou posloupnost 4, 7, 10, 13, ... s a₁ = 4 a d = 3, výpočet 5. členu je a₅ = 4 + (5 - 1) * 3 = 16.

5.3 Geometrická posloupnost

Definice a význam kvocientu

Geometrická posloupnost je posloupnost, kde poměr mezi každým dvěma po sobě jdoucími členy je konstantní. Tento poměr se nazývá kvocient a označuje se jako q.

Příklad: Posloupnost 3, 6, 12, 24, ... je geometrická s kvocientem q = 2.

Základní vzorce

Obecný člen: a_n = a₁ * q^n-1, kde a₁ je první člen a q je kvocient.
Suma prvních n členů: S_n = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q), pro q ≠ 1

Příklad: Pro geometrickou posloupnost 2, 6, 18, 54, ... s a₁ = 2 a q = 3, výpočet 4. členu je a₄ = 2 * 3³ = 54.

5.4 Využití posloupností pro řešení úloh z praxe, finanční matematika

Praktické využití

Posloupnosti mohou modelovat reálné situace, například vývoj úroků, růst populací, nebo plánování rozpočtu.

Finanční matematika

Úrokové sazby a anuitní splátky

V finanční matematice se používají posloupnosti k výpočtu úroků a anuitních splátek.

Jednoduchý úrok

Jednoduchý úrok se počítá jako Úrok = P * r * t, kde P je počáteční kapitál, r je úroková sazba, a t je čas v letech.

Příklad: Počáteční kapitál P = 10000 Kč, úroková sazba r = 5%, doba t = 3 roky. Úrok je 10000 * 0.05 * 3 = 1500 Kč.

Kombinovaný úrok (složený úrok)

Složený úrok se počítá jako A = P * (1 + r/n)^nt, kde n je počet kapitalizačních období za rok.

Příklad: Počáteční kapitál P = 10000 Kč, úroková sazba r = 5%, kapitalizace n = 4 (čtvrtletně), doba t = 2 roky. Celková částka A = 10000 * (1 + 0.05/4)^4*2 = 10000 * (1.0125)⁸ ≈ 11052.13 Kč.

Anuitní splátky

Anuitní splátky se používají k výpočtu pravidelných plateb půjček nebo hypoték. Vzorec pro anuitní splátku je R = (P * r) / (1 - (1 + r)^-n), kde R je měsíční splátka, P je půjčená částka, r je měsíční úroková sazba, a n je počet splátek.

Příklad: Půjčka P = 200000 Kč, roční úroková sazba r = 6%, počet splátek n = 60 měsíců. Měsíční úroková sazba r = 0.06 / 12 = 0.005. Měsíční splátka R = (200000 * 0.005) / (1 - (1 + 0.005)^-60) ≈ 3861.98 Kč.