Posloupnost je uspořádaná množina čísel, kde každé číslo se nazývá člen posloupnosti. Členy posloupnosti jsou obvykle označovány jako a1, a2, a3, ...
.
an = 2n + 1
.n
do vzorce.Aritmetická posloupnost je posloupnost, kde rozdíl mezi každým dvěma po sobě jdoucími členy je konstantní. Tento rozdíl se nazývá diference a označuje se jako d
.
Příklad: Posloupnost 2, 5, 8, 11, ...
je aritmetická s diferencí d = 3
.
an = a1 + (n - 1) * d
, kde a1
je první člen a d
je diference.Sn = n / 2 * (2a1 + (n - 1) * d)
Příklad: Pro aritmetickou posloupnost 4, 7, 10, 13, ...
s a1 = 4
a d = 3
, výpočet 5. členu je a5 = 4 + (5 - 1) * 3 = 16
.
Geometrická posloupnost je posloupnost, kde poměr mezi každým dvěma po sobě jdoucími členy je konstantní. Tento poměr se nazývá kvocient a označuje se jako q
.
Příklad: Posloupnost 3, 6, 12, 24, ...
je geometrická s kvocientem q = 2
.
an = a1 * qn-1
, kde a1
je první člen a q
je kvocient.Sn = a1 * (1 - qn) / (1 - q)
, pro q ≠ 1
Příklad: Pro geometrickou posloupnost 2, 6, 18, 54, ...
s a1 = 2
a q = 3
, výpočet 4. členu je a4 = 2 * 33 = 54
.
Posloupnosti mohou modelovat reálné situace, například vývoj úroků, růst populací, nebo plánování rozpočtu.
V finanční matematice se používají posloupnosti k výpočtu úroků a anuitních splátek.
Jednoduchý úrok se počítá jako Úrok = P * r * t
, kde P
je počáteční kapitál, r
je úroková sazba, a t
je čas v letech.
Příklad: Počáteční kapitál P = 10000 Kč
, úroková sazba r = 5%
, doba t = 3 roky
. Úrok je 10000 * 0.05 * 3 = 1500 Kč
.
Složený úrok se počítá jako A = P * (1 + r/n)nt
, kde n
je počet kapitalizačních období za rok.
Příklad: Počáteční kapitál P = 10000 Kč
, úroková sazba r = 5%
, kapitalizace n = 4
(čtvrtletně), doba t = 2 roky
. Celková částka A = 10000 * (1 + 0.05/4)4*2 = 10000 * (1.0125)8 ≈ 11052.13 Kč
.
Anuitní splátky se používají k výpočtu pravidelných plateb půjček nebo hypoték. Vzorec pro anuitní splátku je R = (P * r) / (1 - (1 + r)-n)
, kde R
je měsíční splátka, P
je půjčená částka, r
je měsíční úroková sazba, a n
je počet splátek.
Příklad: Půjčka P = 200000 Kč
, roční úroková sazba r = 6%
, počet splátek n = 60 měsíců
. Měsíční úroková sazba r = 0.06 / 12 = 0.005
. Měsíční splátka R = (200000 * 0.005) / (1 - (1 + 0.005)-60) ≈ 3861.98 Kč
.