Planimetrie

6.1 Planimetrické pojmy a poznatky

Geometrické Pojmy

Bod: Základní geometrický prvek, který nemá rozměry. Označuje se velkými písmeny (např. A, B, C).

Přímka: Nekonečně dlouhá čára, která nemá začátek ani konec. Označuje se malými písmeny (např. p, q, r) nebo dvěma body, které na ní leží (např. AB).

Polopřímka: Část přímky, která má jeden začátek (bod) a pokračuje nekonečně v jednom směru.

Rovina: Nekonečně velká plocha, ve které mohou ležet body, přímky a úsečky. Označuje se řeckými písmeny (např. α, β, γ).

Polorovina: Část roviny, která je omezena přímkou a obsahuje všechny body na jedné straně této přímky.

Úsečka: Část přímky, která je omezena dvěma body. Označuje se dvěma body na koncích úsečky (např. AB).

Úhly

Vedlejší úhly: Dva úhly, které mají společné rameno a jejich součet je 180°. Např. úhly ∠ABC a ∠CBD jsou vedlejší.

Vrcholové úhly: Dva úhly, které mají společný vrchol a jejich ramena jsou vzájemně opačná. Např. úhly ∠AOB a ∠COD jsou vrcholové.

Střídavé úhly: Dva úhly, které vznikají při průniku dvou přímek třetí přímkou a jsou na opačných stranách této přímky. Např. úhly ∠ABC a ∠DEF jsou střídavé.

Souhlasné úhly: Dva úhly, které vznikají při průniku dvou přímek třetí přímkou a jsou na stejných stranách této přímky. Např. úhly ∠ABC a ∠DEF jsou souhlasné.

Polohové a metrické vztahy

Rovnoběžnost: Dvě přímky, které se nikdy neprotínají a jsou od sebe stále ve stejné vzdálenosti. Např. přímky p a q jsou rovnoběžné, pokud p ∥ q.

Kolmost: Dvě přímky, které se protínají pod pravým úhlem (90°). Např. přímky p a q jsou kolmé, pokud p ⊥ q.

Odchylka přímek: Úhel, který svírají dvě přímky v rovině. Např. odchylka přímek p a q je úhel ∠pq.

Délka úsečky: Vzdálenost mezi dvěma body na přímce. Např. délka úsečky AB je |AB|.

Velikost úhlu: Měřena ve stupních nebo radiánech. Značíme: |∠ABC|.

Vzdálenost bodů a přímek: Nejkratší vzdálenost mezi bodem a přímkou. Např. vzdálenost bodu A od přímky p je d(A, p).

Konvexní a nekonvexní útvary

Geometrické útvary mohou být konvexní nebo nekonvexní. Konvexní útvar je takový, že každý úsek spojující dva body ležící v útvaru je celý uvnitř útvaru. Nekonvexní útvar tuto vlastnost nemá.

Konvexní útvar: Např. čtverec, kruh, rovnostranný trojúhelník.

Nekonvexní útvar: Např. hvězda, měsíc, pěticípá hvězda.

Množiny bodů dané vlastnosti

V planimetrii často řešíme konstrukční úlohy, které zahrnují množiny bodů s danými vlastnostmi. Např. množina všech bodů, které jsou ve stejné vzdálenosti od daného bodu, je kružnice.

Příklad: Konstrukce kružnice s daným středem a poloměrem.

Zvolíme bod O jako střed kružnice.

Vytvoříme úsečku OA s délkou rovnou poloměru kružnice.

Kružítkem nakreslíme kružnici se středem v bodě O a poloměrem |OA|.

6.2 Trojúhelníky

Vlastnosti trojúhelníků

Trojúhelník je geometrický útvar tvořený třemi vrcholy a třemi stranami. Rozlišujeme různé typy trojúhelníků podle délek jejich stran a velikostí jejich úhlů.

Strany: Tři úsečky spojující vrcholy trojúhelníku. Např. v trojúhelníku ABC jsou strany AB, BC a CA.

Vnitřní úhly: Úhly uvnitř trojúhelníku. Např. v trojúhelníku ABC jsou vnitřní úhly ∠A, ∠B a ∠C.

Vnější úhly: Úhly vytvořené prodloužením stran trojúhelníku.

Výšky: Úsečky kolmé na stranu trojúhelníku a vedoucí z protějšího vrcholu. Např. výška na stranu BC je úsečka AH.

Speciální body v trojúhelníku

Ortocentrum: Průsečík všech výšek trojúhelníku.

Těžnice: Úsečka spojující vrchol trojúhelníku se středem protější strany.

Těžiště: Průsečík všech těžnic. Označuje se jako bod G.

Kružnice opsaná: Kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku.

Kružnice vepsaná: Kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku.

Shodnost a podobnost trojúhelníků

Shodnost trojúhelníků znamená, že mají stejné tvary a velikosti, což lze ověřit pomocí shodnostních vět (např. sss, sus, usu). Podobnost znamená, že mají stejný tvar, ale různé velikosti, což lze ověřit pomocí podobnostních vět (např. sss, sus).

Příklad: Určení shodnosti trojúhelníků.

Porovnáme délky stran: pokud |AB| = |DE|, |BC| = |EF| a |CA| = |FD|, trojúhelníky jsou shodné dle věty sss.

Úlohy s trojúhelníky

Trojúhelníky jsou často využívány v početní geometrii. Následují některé klíčové poznatky a vzorce:

Obvod: Součet délek všech stran. Např. obvod trojúhelníku ABC je |AB| + |BC| + |CA|.

Obsah: Lze spočítat jako součin základny a výšky podělený dvěma: S = a*va / 2.

Trigonometrické funkce v trojúhelníku

Sinová věta: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)

Kosinová věta: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\)

Příklad: Výpočet strany pomocí kosinové věty.

Máme trojúhelník ABC s délkami stran a, b a úhlem C.

Použijeme kosinovou větu: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C.

Dosadíme známé hodnoty a vypočítáme délku strany c.

6.3 Mnohoúhelníky

Základní druhy čtyřúhelníků

Různoběžník: Čtyřúhelník bez zvláštních vlastností stran.

Rovnoběžník: Čtyřúhelník, kde každé dvě protilehlé strany jsou rovnoběžné a stejné délky.

Lichoběžník: Čtyřúhelník s jednou dvojicí rovnoběžných stran.

Základní pojmy ve čtyřúhelníku

Strany: Čtyři úsečky tvořící čtyřúhelník.

Vnitřní úhly: Úhly uvnitř čtyřúhelníku.

Vnější úhly: Úhly vytvořené prodloužením stran čtyřúhelníku.

Osy stran a úhlů: Úsečky rozdělující úhly nebo strany na dvě stejné části.

Kružnice opsaná: Kružnice, která prochází všemi vrcholy čtyřúhelníku.

Kružnice vepsaná: Kružnice, která se dotýká všech stran čtyřúhelníku.

Úhlopříčky: Úsečky spojující protilehlé vrcholy.

Výšky: Úsečky kolmé na stranu čtyřúhelníku vedoucí z protějšího vrcholu.

Konvexní a pravidelné mnohoúhelníky

Konvexní mnohoúhelník má všechny vnitřní úhly menší než 180°. Pravidelný mnohoúhelník má všechny strany a úhly stejné.

6.4 Kružnice a kruh

Základní pojmy

Tětiva: Úsečka spojující dva body na kružnici.

Kružnicový oblouk: Část kružnice mezi dvěma body.

Kruhová výseč: Část kruhu ohraničená dvěma poloměry a kružnicovým obloukem.

Kruhová úseč: Část kruhu ohraničená tětivou a kružnicovým obloukem.

Mezikruží: Oblast mezi dvěma soustřednými kružnicemi.

Poloha bodů, přímek a kružnic

Poloha bodů a přímek vzhledem ke kružnici je důležitá pro řešení geometrických úloh. Přímka může být ke kružnici:

Vnější: Nemá s kružnicí žádný společný bod.

Tečna: Má s kružnicí jeden společný bod (dotyk).

Sečna: Má s kružnicí dva společné body.

Metrické poznatky o kružnicích a kruzích

Obvod kružnice: O = 2πr, kde r je poloměr.

Obsah kruhu: S = πr^2.

6.5 Geometrická zobrazení

Shodná zobrazení

Souměrnost: Zobrazení, které zachovává tvar a velikost obrazců.

Posunutí: Zobrazení, při kterém se každý bod obrazce posune o stejný vektor.

Otočení: Zobrazení, při kterém se každý bod obrazce otočí kolem pevného bodu o stejný úhel.

Vlastnosti shodných zobrazení

Zachovávají vzdálenosti mezi body.

Zachovávají úhly mezi přímkami.

Zachovávají velikosti úhlů.

Příklad: Konstrukce osové souměrnosti.

Určíme osu souměrnosti.

Každý bod obrazce zrcadlíme podle osy souměrnosti.

Obraz bodu A je bod A', který je na opačné straně osy ve stejné vzdálenosti jako bod A.