Komplexní čísla

11.1 Imaginární jednotka a algebraický tvar

Rovnice x2 = −1 nemá v reálných číslech řešení. Zavedením imaginární jednotky se obor čísel rozšíří tak, že řešitelná je každá algebraická rovnice – to je hlavní důvod, proč komplexní čísla vůbec existují.

• Imaginární jednotka: i je číslo, pro které platí i2 = −1
• Algebraický tvar: z = a + bi, kde a, b ∈ ℝ
• Reálná část: Re z = a
• Imaginární část: Im z = b – je to reálné číslo, ne bi
• Ryze imaginární číslo: číslo s a = 0 a b ≠ 0
• Komplexně sdružené číslo: z̄ = a − bi
• Rovnost: dvě komplexní čísla se rovnají, právě když se rovnají obě jejich části

11.2 Operace v algebraickém tvaru

• Sčítání a odčítání: po složkách: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
• Násobení: roznásobí se jako dvojčleny a nahradí se i2 = −1
• Dělení: zlomek se rozšíří číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli – jmenovatel se tím stane reálným

11.3 Gaussova rovina a absolutní hodnota

Komplexní číslo se zobrazuje jako bod v rovině: reálná část na vodorovné ose, imaginární na svislé. Tím se z algebry stane geometrie a spousta věcí je najednou vidět.

• Gaussova rovina: rovina s reálnou a imaginární osou, každému číslu odpovídá právě jeden bod
• Absolutní hodnota: |z| = √(a2 + b2) – vzdálenost obrazu od počátku
• Užitečný vztah: z · z̄ = a2 + b2 = |z|2
• Geometrický význam: |z1 − z2| je vzdálenost obrazů obou čísel

11.4 Goniometrický tvar

Místo souřadnic se číslo popíše vzdáleností od počátku a úhlem. Pro násobení, dělení a mocnění je to nesrovnatelně pohodlnější než tvar algebraický.

• Goniometrický tvar: z = |z| · (cos φ + i · sin φ)
• Argument: úhel φ, který svírá průvodič obrazu s kladnou reálnou poloosou
• Převod z algebraického tvaru: |z| = √(a2 + b2), cos φ = a / |z|, sin φ = b / |z|
• Pozor na kvadrant: ze samotného tg φ = b / a vyjdou dvě možnosti – rozhodují znaménka a a b

11.5 Moivreova věta

• Násobení: absolutní hodnoty se násobí, argumenty sčítají
• Dělení: absolutní hodnoty se dělí, argumenty odčítají
• Moivreova věta: zn = |z|n · (cos nφ + i · sin nφ)

11.6 Odmocniny a binomické rovnice

V komplexních číslech má n-tá odmocnina vždy právě n hodnot. Jejich obrazy leží na kružnici o poloměru ⁿ√|z| a dělí ji na n stejných dílů – tvoří vrcholy pravidelného n-úhelníku.

• Vzorec: wk = ⁿ√|z| · (cos((φ + 2kπ)/n) + i · sin((φ + 2kπ)/n)) pro k = 0, 1, …, n−1
• Binomická rovnice: rovnice tvaru xn = z; řeší se právě přes tento vzorec

11.7 Kvadratické rovnice se záporným diskriminantem

V reálných číslech taková rovnice řešení nemá. V komplexních má vždy dvě, a jsou to čísla komplexně sdružená.

• Postup: spočítat diskriminant, zápornou odmocninu zapsat pomocí i, dosadit do běžného vzorce
• Odmocnina ze záporného čísla: √(−d) = i · √d pro d > 0