Úhel se v matematice měří dvěma způsoby. Ve stupních se počítá od pravěkých Babyloňanů, v radiánech se počítá s délkou oblouku na jednotkové kružnici. Pro goniometrické funkce je základní oblouková míra.
360°, jeden stupeň má 60 minut2π radiánůφrad = φ° · π / 180φ° = φrad · 180 / π60° = 60 · π / 180 = π/3
3π/4 = (3π/4) · 180 / π = 135°
<0°, 360°), resp. <0, 2π); ostatní se od ní liší o celé otočky k · 360°Základní velikost úhlu 430°: 430° − 360° = 70°
Základní velikost úhlu −100°: −100° + 360° = 260°
Na jednotkové kružnici se úhlu φ přiřadí bod [cos φ; sin φ]. Odtud plynou znaménka i periodicita – kružnice se prostě obíhá pořád dokola.
tg φ = sin φ / cos φ, není definován pro cos φ = 0cotg φ = cos φ / sin φ, není definován pro sin φ = 0sin = 0, cos = 1, tg = 0sin = 1/2, cos = √3/2, tg = √3/3sin = √2/2, cos = √2/2, tg = 1sin = √3/2, cos = 1/2, tg = √3sin = 1, cos = 0, tangens není definovánsin a cos mají periodu 2π, tg a cotg periodu πsin, cos ∈ <−1; 1>, tg, cotg ∈ ℝcos(−x) = cos x (sudá), sin(−x) = −sin x (lichá)sin2x + cos2x = 1tg x = sin x / cos xcotg x = cos x / sin x, tedy tg x · cotg x = 1sin(x ± y) = sin x · cos y ± cos x · sin ycos(x ± y) = cos x · cos y ∓ sin x · sin ytg(x ± y) = (tg x ± tg y) / (1 ∓ tg x · tg y)sin 2x = 2 · sin x · cos x, cos 2x = cos2x − sin2xcos 2x = 2cos2x − 1 = 1 − 2sin2xsin2(x/2) = (1 − cos x) / 2, cos2(x/2) = (1 + cos x) / 2sin x + sin y = 2 · sin((x+y)/2) · cos((x−y)/2)cos x + cos y = 2 · cos((x+y)/2) · cos((x−y)/2)Zjednodušení (sin 2x) / (sin x):
= (2 · sin x · cos x) / sin x = 2 · cos x pro sin x ≠ 0
Goniometrická rovnice má nekonečně mnoho řešení, protože funkce jsou periodické. Výsledek se proto píše s celočíselným parametrem k ∈ ℤ.
sin x = a má řešení x = α + 2kπ a x = π − α + 2kπcos x = a má řešení x = ±α + 2kπtg x = a má řešení x = α + kπRovnice sin x = 1/2
x = π/6 + 2kπ nebo x = 5π/6 + 2kπ, k ∈ ℤ
Rovnice cos(2x − π/3) = 0
2x − π/3 = π/2 + kπ
2x = 5π/6 + kπ, tedy x = 5π/12 + kπ/2
Rovnice 2sin2x − sin x − 1 = 0
Substituce t = sin x: 2t2 − t − 1 = 0, tedy t = 1 nebo t = −1/2
Z sin x = 1 plyne x = π/2 + 2kπ
Z sin x = −1/2 plyne x = −π/6 + 2kπ nebo x = 7π/6 + 2kπ
Rovnice sin 2x = cos x
2 · sin x · cos x − cos x = 0
cos x · (2 · sin x − 1) = 0
Z cos x = 0 plyne x = π/2 + kπ; z sin x = 1/2 plyne x = π/6 + 2kπ nebo x = 5π/6 + 2kπ
Nerovnice se řeší na jednotkové kružnici: najdou se hraniční úhly z odpovídající rovnice a pak se určí oblouk, na kterém nerovnost platí. Výsledek se obvykle uvádí na jedné periodě.
Nerovnice sin x > 1/2 na intervalu <0; 2π)
Hranice: sin x = 1/2 pro x = π/6 a x = 5π/6
Sinus je větší než 1/2 mezi nimi: x ∈ (π/6; 5π/6)
V pravoúhlém trojúhelníku se goniometrické funkce zavádějí poměrem stran. To je nejstarší a v praxi nejpoužívanější část celé goniometrie.
sin α = protilehlá odvěsna / přeponacos α = přilehlá odvěsna / přeponatg α = protilehlá odvěsna / přilehlá odvěsnaa2 + b2 = c2, kde c je přeponaStrom je vidět pod úhlem 32° ze vzdálenosti 25 m.
v = 25 · tg 32° ≐ 25 · 0,625 ≐ 15,6 m
Žebřík dlouhý 4 m opřený o zeď svírá se zemí 70°.
Výška opření: 4 · sin 70° ≐ 3,76 m
Vzdálenost paty od zdi: 4 · cos 70° ≐ 1,37 m
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2r, kde r je poloměr kružnice opsanéa2 = b2 + c2 − 2bc · cos αα = 90° je cos α = 0 a vznikne Pythagorova větaS = ½ · a · b · sin γS = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), kde s = (a+b+c)/2Trojúhelník má b = 7, c = 9, α = 40°.
Kosinová věta: a2 = 49 + 81 − 2 · 7 · 9 · cos 40° ≐ 130 − 96,5 = 33,5
a ≐ 5,8
Obsah: S = ½ · 7 · 9 · sin 40° ≐ 20,2