Funkce

4.1 Základní poznatky o funkcích

Funkce je matematická relace, která přiřazuje každému prvku z definičního oboru právě jeden prvek z oboru hodnot.

Definiční obor: Množina všech hodnot proměnné, pro které je funkce definována.
Obor hodnot: Množina všech hodnot, které funkce může nabývat.
Argument: Hodnota, kterou dosazujeme do funkce.
Hodnota funkce: Výstup funkce pro daný argument.

Graf funkce

Graf funkce je geometrické znázornění všech bodů (x, f(x)), kde x je argument a f(x) je hodnota funkce.

Funkce: f(x) = 2x + 1

Graf: Přímka, která prochází body (0, 1) a (1, 3).

Určení grafu funkce z předpisu

Pro funkci f(x) = 3x - 2 sestrojíme graf podle toho, že body na ose x dosazujeme do funkce a získáme odpovídající hodnoty na ose y.

Pro x = 0, f(0) = -2

Pro x = 1, f(1) = 1

Určení průsečíků s osami

Průsečík s osou x: Hodnota x, při které f(x) = 0.
Průsečík s osou y: Hodnota f(0).

Funkce: f(x) = x^2 - 4

Průsečík s osou x: x = ±2

Průsečík s osou y: f(0) = -4

Intervaly monotonie a extrémy

Intervaly monotonie: Oblasti, kde je funkce rostoucí nebo klesající.
Extrémy: Body, kde funkce dosahuje maxima nebo minima.

Funkce: f(x) = -x^2 + 4x

Maximální bod: x = 2, f(2) = 4

Funkce je klesající pro x < 2 a rostoucí pro x > 2.

Výrazy s elementárními funkcemi

Lineární funkce: f(x) = mx + b
Kvadratická funkce: f(x) = ax^2 + bx + c

Modelování reálných závislostí

Funkce se používají k modelování reálných situací, jako je vztah mezi náklady a výrobními množstvími.

Model: Náklady C(x) = 50x + 200, kde x je počet kusů výrobku.

4.2 Lineární funkce, lineární lomená funkce

Přímá úměrnost

Přímá úměrnost mezi dvěma veličinami znamená, že jejich graf je přímka procházející počátkem.

Funkce: f(x) = kx

Graf je přímka s průsečíkem (0, 0).

Lineární funkce

Lineární funkce má tvar f(x) = mx + b, kde m je směrnice a b je průsečík s osou y.

Funkce: f(x) = 2x + 3

Směrnice m = 2, průsečík b = 3.

Geometrický význam parametrů

Parametr m: Určuje sklon přímky.
Parametr b: Určuje výšku přímky nad osou x.

Lineární lomená funkce

Lineární lomená funkce má tvar f(x) = (ax + b) / (cx + d).

Funkce: f(x) = (2x + 1) / (x - 3)

Graf obsahuje asymptoty: vertikální asymptota x = 3, horizontální asymptota y = 2.

Určení předpisu z grafu

Určení předpisu funkce z grafu zahrnuje identifikaci parametrů na základě sklonu a průsečíků s osami.

4.3 Kvadratické funkce

Definiční obor a obor hodnot

Kvadratická funkce má tvar f(x) = ax^2 + bx + c.

Definiční obor: Všechny reálné čísla.
Obor hodnot: Všechny reálné hodnoty větší nebo rovné minimální hodnotě.

Graf kvadratické funkce

Graf je parabola, která může být otevřená nahoru nebo dolů, v závislosti na znaménku a.

Funkce: f(x) = -x^2 + 4x

Graf je parabola otevřená dolů s vrcholem v bodě (2, 4).

Intervaly monotonie a extrémy

Intervaly monotonie: Funkce je rostoucí nebo klesající.
Extrémy: Maximum nebo minimum funkce.

4.4 Exponenciální a logaritmické funkce

Exponenciální funkce

Exponenciální funkce má tvar f(x) = a * b^x, kde a je koeficient a b základ exponentu.

Funkce: f(x) = 2^x

Graf je křivka, která roste exponenciálně.

Logaritmická funkce

Logaritmická funkce má tvar f(x) = log_b(x), kde b je základ logaritmu.

Funkce: f(x) = log_2(x)

Graf roste pomalu a je asymptotický k ose y.

Řešení exponenciálních a logaritmických rovnic

Exponenciální rovnice: Např. 2^x = 8, kde x = 3.
Logaritmické rovnice: Např. log_2(x) = 3, kde x = 8.

4.5 Goniometrické funkce

Orientovaný úhel a míry

Stupňová míra: Úhel měřený v stupních.
Oblouková míra: Úhel měřený v radiánech, kde 2π radiánů = 360°.

Definice goniometrických funkcí

Sinus: sin(θ) = protilehlá / přepona
Kosinus: cos(θ) = přilehlá / přepona
Tangens: tan(θ) = protilehlá / přilehlá

Intervaly monotonie a extrémy

Sinusová funkce: Periodická, maximum 1, minimum -1.
Kosinusová funkce: Periodická, maximum 1, minimum -1.

Úprava výrazů a definiční obor

Goniometrické funkce se upravují podle základních identit, jako je sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1.