Limita popisuje, k jaké hodnotě se funkce blíží, když se argument blíží k nějakému bodu. Nezajímá ji, co se děje přímo v tom bodě – funkce tam nemusí být vůbec definovaná.
limx→a f(x) = Lx → a−, zprava x → a+; limita existuje, právě když se obě rovnajílim f(x) = ∞x → ±∞0/0 u lomených výrazů se řeší rozkladem a zkrácenímlimx→2 (x2 − 4) / (x − 2)
Dosazením vyjde 0/0, proto rozklad:
= limx→2 ((x−2)(x+2)) / (x−2) = limx→2 (x + 2) = 4
limx→∞ (3x2 + x) / (2x2 − 5)
Dělením x2: = lim (3 + 1/x) / (2 − 5/x2) = 3/2
a, když limx→a f(x) = f(a)Derivace měří okamžitou rychlost změny. Geometricky je to směrnice tečny ke grafu, fyzikálně třeba okamžitá rychlost jako derivace dráhy podle času.
f′(x) = limh→0 (f(x+h) − f(x)) / hf′(x0) je směrnice tečny v bodě [x0; f(x0)]y − f(x0) = f′(x0) · (x − x0)Tečna ke grafu f(x) = x2 v bodě x0 = 3
f(3) = 9, f′(x) = 2x, tedy f′(3) = 6
y − 9 = 6(x − 3), po úpravě y = 6x − 9
(c)′ = 0(xn)′ = n · xn−1(√x)′ = 1 / (2√x)(ex)′ = ex, (ax)′ = ax · ln a(ln x)′ = 1/x(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x(u + v)′ = u′ + v′(c · u)′ = c · u′(u · v)′ = u′v + uv′(u / v)′ = (u′v − uv′) / v2[f(g(x))]′ = f′(g(x)) · g′(x)f(x) = x2 · sin x
f′(x) = 2x · sin x + x2 · cos x
f(x) = (2x + 1)5
Složená funkce: f′(x) = 5(2x + 1)4 · 2 = 10(2x + 1)4
Z první a druhé derivace se dá vyčíst tvar grafu, aniž by se počítala jediná tabulka hodnot. Tohle je nejčastější maturitní úloha z diferenciálního počtu.
f′(x) > 0 na daném intervaluf′(x) < 0 na daném intervaluf′(x) = 0 – kandidát na lokální extrém+ na −, případně f″(x) < 0− na +, případně f″(x) > 0f″(x) > 0, graf se prohýbá nahoruf″(x) < 0, graf se prohýbá dolůf(x) = x3 − 3x
f′(x) = 3x2 − 3 = 0 pro x = ±1
f″(x) = 6x; f″(−1) = −6 < 0 → lokální maximum f(−1) = 2
f″(1) = 6 > 0 → lokální minimum f(1) = −2
Inflexní bod v x = 0
Postup je vždy stejný: sestavit funkci jedné proměnné, určit definiční obor podle zadání, zderivovat, najít stacionární body a ověřit, že jde opravdu o hledaný extrém.
Z drátu délky 20 m se má ohradit obdélník s největším obsahem.
Obvod: 2a + 2b = 20, tedy b = 10 − a
Obsah: S(a) = a(10 − a) = 10a − a2, definiční obor a ∈ (0; 10)
S′(a) = 10 − 2a = 0 pro a = 5
S″(a) = −2 < 0, jde o maximum: čtverec 5 × 5 s obsahem 25 m2
Integrování je opačná operace k derivování. Hledá se funkce, jejíž derivace je zadaný výraz – a protože derivace konstanty je nula, přibývá vždy integrační konstanta.
F je primitivní k f, když F′(x) = f(x)∫ f(x) dx = F(x) + c∫ xn dx = xn+1 / (n+1) + c pro n ≠ −1∫ (1/x) dx = ln|x| + c∫ ex dx = ex + c∫ sin x dx = −cos x + c, ∫ cos x dx = sin x + c∫ u′v dx = uv − ∫ uv′ dxt = g(x) se integrál převede na jednodušší∫ (3x2 − 4x + 1) dx = x3 − 2x2 + x + c
∫ x · ex dx metodou per partes
Volba u′ = ex, v = x, tedy u = ex, v′ = 1
= x · ex − ∫ ex dx = x · ex − ex + c
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)f(x) ≥ 0 na <a; b> je obsah roven určitému integráluS = ∫ab (f(x) − g(x)) dx, kde f je nahořeV = π · ∫ab f(x)2 dxObsah pod parabolou f(x) = x2 na intervalu <0; 2>
∫02 x2 dx = [x3/3]02 = 8/3 − 0 = 8/3
Obsah mezi f(x) = x a g(x) = x2
Průsečíky: x = x2 pro x = 0 a x = 1; na tomto intervalu je x ≥ x2
S = ∫01 (x − x2) dx = [x2/2 − x3/3]01 = 1/2 − 1/3 = 1/6