Číselné množiny

Číselné množiny jsou základním pojmem v matematice a zahrnují různé typy čísel a operací s nimi.

1.1 Přirozená čísla (ℕ)

Přirozená čísla jsou čísla, která používáme pro počítání a označování pořadí. Obvykle začínají od 1. V některých případech může být do množiny přirozených čísel zahrnuta i nula.

• ℕ = { 1, 2, 3, 4, 5, … }
• ℕ0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, … }

Aritmetické operace s přirozenými čísly

• Sčítání: 2 + 3 = 5
• Odčítání: 5 - 3 = 2
• Násobení: 4 × 3 = 12
• Dělení: 12 ÷ 4 = 3

Rozlišování prvočísel a složených čísel

• Prvočíslo je číslo větší než 1, které má pouze dva dělitele: 1 a sebe sama.
  2, 3, 5, 7, 11
• Složené číslo má více než dva dělitele.
  4 = 2 × 2, 6 = 2 × 3, 8 = 2 × 4

Rozklad na prvočinitele

Rozklad čísla na součin prvočísel:

Dělitelnost přirozených čísel

• Znaky dělitelnosti:
• Dělitelnost 2: číslo je sudé.
• Dělitelnost 3: součet číslic je dělitelný 3.
• Dělitelnost 5: číslo končí na 0 nebo 5.

Soudělná a nesoudělná čísla

• Soudělná čísla mají společné dělitele kromě 1.
  6 a 9 jsou soudělná, protože mají společné dělitele 1 a 3
• Nesoudělná čísla mají pouze jednoho společného dělitele, a to 1.
  8 a 15 jsou nesoudělná, protože jejich jediný společný dělitel je 1

Největší společný dělitel (NSD) a nejmenší společný násobek (NSN)

• NSD:
  NSD(12, 15) = 3
• NSN:
  NSN(4, 5) = 20

1.2 Celá čísla (ℤ)

Celá čísla zahrnují všechna přirozená čísla, jejich opačná čísla (negativní) a nulu.

• ℤ = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }

Aritmetické operace s celými čísly

• Sčítání: -2 + 3 = 1
• Odčítání: 5 - 7 = -2
• Násobení: -4 × 3 = -12
• Dělení: -12 ÷ 4 = -3

Opačné číslo

Opačné číslo je číslo s opačným znaménkem.

1.3 Racionální čísla (ℚ)

Racionální čísla jsou čísla, která mohou být vyjádřena jako podíl dvou celých čísel, kde jmenovatel není nula.

• ℚ = { a/b | a, b ∈ ℤ, b ≠ 0 }

Práce s různými tvary zápisu racionálního čísla

• Zlomek: 3/4
• Desetinné číslo: 0.75
• Smíšené číslo: 1 1/2

Dekadický zápis čísla

Čísla lze zapisovat v desítkové soustavě.

Operace se zlomky

• Sčítání a odčítání zlomků:
  1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
• Násobení zlomků:
  2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2
• Dělení zlomků:
  3/4 ÷ 2/3 = 3/4 × 3/2 = 9/8

Operace s desetinnými čísly

• Sčítání: 0.5 + 0.75 = 1.25
• Odčítání: 1.5 - 0.75 = 0.75
• Násobení: 0.6 × 0.2 = 0.12
• Dělení: 0.8 ÷ 0.4 = 2
• Zaokrouhlování: 3.14159 ≈ 3.14 (zaokrouhleno na dvě desetinná místa)

Řád čísla

Řád čísla je určen jeho velikostí v desítkové soustavě.

Procenta a trojčlenka

• Výpočet procent:
  20 % z 50 = 0.2 × 50 = 10
• Trojčlenka:
  Pokud 5 jablek stojí 10 Kč, kolik stojí 8 jablek?
5 jablek → 10 Kč
1 jablko → 2 Kč
8 jablek → 8 × 2 = 16 Kč

Znázornění racionálního čísla na číselné ose a jejich porovnávání

• Racionální čísla lze znázornit na číselné ose stejně jako přirozená a celá čísla.
• Porovnávání racionálních čísel:
  0.75 > 0.5, protože 3/4 > 1/2

Užívání jednotek a jejich převody

• Převod jednotek:
  1 km = 1000 m, 1 m = 100 cm

1.4 Reálná čísla (ℝ)

Reálná čísla zahrnují racionální i iracionální čísla. Reálná čísla lze znázornit na číselné ose.

Zařazení čísla do příslušného číselného oboru

Každé číslo lze zařadit do některého z následujících číselných oborů:

• ℕ, ℤ, ℚ, ℝ
• √2 ∈ ℝ (iracionální číslo)
• 7/4 ∈ ℚ, ℝ

Aritmetické operace a porovnávání reálných čísel

• Sčítání a odčítání:
  2.3 + 4.1 = 6.4
• Násobení a dělení:
  3.2 × 1.5 = 4.8

Opačné a převrácené číslo

• Opačné číslo:
  Opačné číslo k 7 je -7
• Převrácené číslo:
  Převrácené číslo k 5/2 je 2/5

Znázornění reálného čísla na číselné ose

Na číselné ose se zobrazí například číslo √2 mezi 1 a 2.

Absolutní hodnota reálného čísla

Absolutní hodnota je vzdálenost čísla od nuly na číselné ose.

Operace s mocninami a odmocninami

• Mocniny:
  2^3 = 8
• Odmocniny:
  √16 = 4

Praktické úlohy s mocninami a odmocninami

• Výpočet plochy čtverce:
  Strana čtverce = 5
Plocha = 5^2 = 25
• Výpočet délky úhlopříčky:
  Strana čtverce = 5
Úhlopříčka = 5√2

1.5 Číselné množiny

Užívání označení číselných oborů

• ℕ: Přirozená čísla
• ℤ: Celá čísla
• ℚ: Racionální čísla
• ℝ: Reálná čísla

Zapisování a znázorňování číselných množin a intervalů

• Intervaly:
• Otevřený interval: (a, b)
• Uzavřený interval: [a, b]
• Polootevřený interval: (a, b] nebo [a, b)
• Průnik a sjednocení:
• Průnik: A ∩ B
• Sjednocení: A ∪ B

Příklady

• Interval [1, 3): zahrnuje čísla od 1 do 3, 1 je součástí, ale 3 nikoliv.
• Průnik:
  [1, 5] ∩ [3, 7] = [3, 5]
• Sjednocení:
  [1, 3) ∪ [2, 5] = [1, 5]