Analytická geometrie

8.1 Souřadnice bodu a vektoru na přímce

Souřadnice bodu na přímce

V analytické geometrii jsou souřadnice bodu na přímce důležité pro určení jeho polohy v prostoru. Na přímce můžeme zvolit libovolný bod jako počátek souřadnicového systému.

Vzdálenost dvou bodů

Vzdálenost mezi dvěma body \( A(x_1, y_1) \) a \( B(x_2, y_2) \) v rovině lze vypočítat pomocí vzorce:

d = √((x_2 - x_1)² + (y_2 - y_1)²)

Příklad: Najděte vzdálenost mezi body \( A(1, 2) \) a \( B(4, 6) \).

d = √((4 - 1)² + (6 - 2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Souřadnice středu úsečky

Souřadnice středu úsečky mezi dvěma body \( A(x_1, y_1) \) a \( B(x_2, y_2) \) lze vypočítat jako:

M = ((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2)

Příklad: Najděte souřadnice středu úsečky mezi body \( A(2, 3) \) a \( B(6, 7) \).

M = ((2 + 6)/2, (3 + 7)/2) = (4, 5)

Vektor a jeho vlastnosti

Vektor je matematický objekt, který má velikost a směr. Vektory se často používají k vyjádření posunů, rychlostí nebo síl. Souřadnice vektoru v rovině se určují jako rozdíl souřadnic koncového bodu a počátečního bodu.

Souřadnice vektoru: Vektor \( \vec{AB} \) mezi body \( A(x_1, y_1) \) a \( B(x_2, y_2) \) má souřadnice \( (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \).

Velikost vektoru: Velikost vektoru \( \vec{AB} \) je dána vzorcem:

||\vec{AB}|| = √((x_2 - x_1)² + (y_2 - y_1)²)

Příklad: Vektor \( \vec{AB} \) mezi body \( A(2, 3) \) a \( B(5, 7) \) má souřadnice \( (3, 4) \). Jeho velikost je:

||\vec{AB}|| = √(3² + 4²) = √25 = 5

Operace s vektory

Vektory lze sčítat a násobit reálnými čísly:

Součet vektorů: Pokud máme vektory \( \vec{u} = (a_1, b_1) \) a \( \vec{v} = (a_2, b_2) \), jejich součet je \( \vec{u} + \vec{v} = (a_1 + a_2, b_1 + b_2) \).
Násobek vektoru reálným číslem: Pokud násobíme vektor \( \vec{u} = (a, b) \) číslem \( k \), výsledkem je \( k \cdot \vec{u} = (k \cdot a, k \cdot b) \).

Příklad: Máme vektory \( \vec{u} = (2, 3) \) a \( \vec{v} = (4, -1) \). Jejich součet je:

\vec{u} + \vec{v} = (2 + 4, 3 - 1) = (6, 2)

Pokud vektor \( \vec{u} \) násobíme číslem \( 3 \), dostaneme:

3 \cdot \vec{u} = 3 \cdot (2, 3) = (6, 9)

8.2 Souřadnice bodu a vektoru v rovině

Souřadnice bodu v kartézské soustavě

V kartézské soustavě souřadnic je bod v rovině určen dvěma souřadnicemi \( (x, y) \). Tyto souřadnice vyjadřují jeho vzdálenost od os x a y.

Vzdálenost dvou bodů v rovině

Vzdálenost mezi dvěma body \( A(x_1, y_1) \) a \( B(x_2, y_2) \) se opět počítá pomocí Pythagorovy věty:

d = √((x_2 - x_1)² + (y_2 - y_1)²)

Příklad: Najděte vzdálenost mezi body \( A(-2, 1) \) a \( B(3, 4) \).

d = √((3 - (-2))² + (4 - 1)²) = √(5² + 3²) = √34 ≈ 5.83

Souřadnice středu úsečky v rovině

Souřadnice středu úsečky mezi dvěma body \( A(x_1, y_1) \) a \( B(x_2, y_2) \) jsou:

M = ((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2)

Příklad: Najděte souřadnice středu úsečky mezi body \( A(-1, -2) \) a \( B(5, 6) \).

M = ((-1 + 5)/2, (-2 + 6)/2) = (2, 2)

Operace s vektory v rovině

Stejně jako v prostoru, i v rovině můžeme s vektory provádět operace:

Součet vektorů: Pokud máme vektory \( \vec{u} = (a_1, b_1) \) a \( \vec{v} = (a_2, b_2) \), jejich součet je \( \vec{u} + \vec{v} = (a_1 + a_2, b_1 + b_2) \).
Násobek vektoru reálným číslem: Pokud násobíme vektor \( \vec{u} = (a, b) \) číslem \( k \), výsledkem je \( k \cdot \vec{u} = (k \cdot a, k \cdot b) \).
Skalární součin vektorů: Skalární součin vektorů \( \vec{u} = (a_1, b_1) \) a \( \vec{v} = (a_2, b_2) \) je dán vzorcem:

\vec{u} \cdot \vec{v} = a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2

Příklad: Pokud máme vektory \( \vec{u} = (2, 3) \) a \( \vec{v} = (4, -1) \), jejich skalární součin je:

\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1) = 8 - 3 = 5

Velikost úhlu mezi dvěma vektory

Velikost úhlu \( \theta \) mezi dvěma vektory \( \vec{u} \) a \( \vec{v} \) lze spočítat pomocí skalárního součinu:

cos(θ) = (\vec{u} \cdot \vec{v}) / (||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||)

Příklad: Pro vektory \( \vec{u} = (1, 2) \) a \( \vec{v} = (3, 4) \):

          \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11

          ||\vec{u}|| = √(1² + 2²) = √5

          ||\vec{v}|| = √(3² + 4²) = 5

          cos(θ) = 11 / (√5 × 5) ≈ 0.492

Kolmé a kolineární vektory

Vektory jsou kolmé, pokud jejich skalární součin je nulový. Vektory jsou kolineární, pokud jsou jejich směry shodné nebo opačné, což znamená, že jeden vektor je násobkem druhého.

8.3 Přímka v rovině

Parametrické vyjádření přímky

Parametrické vyjádření přímky v rovině je dáno jako:

          x = x₀ + t \cdot a

          y = y₀ + t \cdot b

Kde \( (x₀, y₀) \) je bod na přímce a \( (a, b) \) je směrnice přímky, zatímco \( t \) je parametr.

Obecná rovnice přímky

Obecná rovnice přímky v rovině je:

Ax + By + C = 0

Kde \( A \), \( B \) a \( C \) jsou konstanty, které určují polohu a orientaci přímky.

Směrnicový tvar rovnice přímky

Směrnicový tvar rovnice přímky je:

y = mx + c

Kde \( m \) je směrnice (sklon) přímky a \( c \) je průsečík přímky s osou y.

Polohové a metrické vztahy bodů a přímek

Pro určení polohových a metrických vztahů mezi bodem a přímkou můžeme použít různé metody:

Vzdálenost bodu od přímky: Vzdálenost bodu \( P(x_1, y_1) \) od přímky \( Ax + By + C = 0 \) se vypočítá jako:

d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)

Příklad: Určete vzdálenost bodu \( (2, 3) \) od přímky \( 2x - 3y + 4 = 0 \).

          d = |2×2 - 3×3 + 4| / √(2² + (-3)²) = |4 - 9 + 4| / √13 = 1 / √13 ≈ 0.277
      