Co je číselná soustava

• Číselná soustava je pravidlo, jak zapsat a interpretovat čísla pomocí posloupnosti symbolů (číslic).
• Rozlišujeme především poziční soustavy (hodnota číslice závisí na její pozici) a nepoziční soustavy (hodnota znaku je nezávislá na pořadí).
• V pozičních soustavách je základ (báze, radix, r) kladné celé číslo určující počet dostupných číslic (0..r−1).

Poziční číselné soustavy

• V poziční soustavě každá pozice odpovídá mocnině základu: nejnižší místo = r⁰, další = r¹, r², …
• Největší cifrou je r−1, z toho plyne, že zápis "10" v dané soustavě znamená právě hodnotu r v desítkové soustavě.
• Výhody: efektivní reprezentace velkých čísel s malým počtem symbolů, snadné aritmetické algoritmy.
• Nevýhody: změna hodnoty přidáním nebo přesunutím číslice výrazně mění celou hodnotu (nutné dbát např. přesností, formátování částek apod.).

Běžné základy

• Dvojková (binární, r = 2) – jen 0 a 1; základ digitální logiky a výpočetní techniky (stavy: vypnuto/zapnuto).
• Desítková (dekadická, r = 10) – nejrozšířenější pro každodenní použití; používá se znaménko a desetinná čárka pro reálná čísla.
• Dvanáctková (r = 12) – historicky i prakticky v některých odvětvích (tucet), dnes zřídka.
• Šestnáctková (hex, r = 16) – v informatice oblíbená pro kompaktní zápis binárních dat (0–9, A–F). Usnadňuje převod mezi hex a bin.
• Šedesátková (sexagesimální, r = 60) – používá se při měření času a úhlů; cifry se obvykle zapisují desítkově (0–59).

Nepoziční číselné soustavy

• V těchto systémech hodnota symbolu nezávisí na jeho pozici. Dnes jsou převážně historickou zajímavostí.
• Římské číslice: kombinace písmen (I, V, X, L, C, D, M) pro zápis celých čísel; používané pro označení kapitol, pořadí panovníků apod.
• Řecké a egyptské systémy: založené na přiřazení hodnot písmenům nebo znakům, často s opakováním znaku pro vyšší mocniny.
• Jedničková soustava (tally/unární): dovoluje zápis pouze přirozených čísel pomocí opakujících se stejných znaků; někdy se třídí jako zvláštní případ.

Metody převodu mezi soustavami

• Metoda dělení základem – pro převod celých čísel z desítkové do jiného základu: opakovaně dělíme základem a zaznamenáváme zbytky; výsledný zápis čteme odzadu.
• Metoda násobení – pro převod desetinné části z desítkové do jiného základu: násobíme desetinnou část základem, celočíselnou část výsledku zapisujeme jako další cifru a opakujeme pro zbytek.
• Substituční metoda – pro převod do desítkové: vynásobíme každou cifru příslušnou mocninou základu a sečteme.

Příkladové převody a operace (krok za krokem)

Příklad A – převod celého čísla z desítkové do osmičkové

Nechť chceme zapsat 156 v osmičkové soustavě (r = 8). Postup dělením:

156 ÷ 8 = 19  zbytek 4
19  ÷ 8 = 2   zbytek 3
2   ÷ 8 = 0   zbytek 2
Čteme zbytky zdola nahoru → 156₁₀ = 234₈
    

Příklad B – převod desítkového čísla do šestnáctkové soustavy

Převod čísla 174 do hexu (r = 16):

174 ÷ 16 = 10  zbytek 14 → 14 = E
10  ÷ 16 = 0   zbytek 10 → 10 = A
Čteme zbytky zdola nahoru → 174₁₀ = AE₁₆
    

Příklad C – převod do soustavy se základem 5

Chceme zapsat 83 v soustavě r = 5:

83 ÷ 5 = 16  zbytek 3
16 ÷ 5 = 3   zbytek 1
3  ÷ 5 = 0   zbytek 3
Výsledek: 83₁₀ = 313₅
Kontrola zpět: 3*5² + 1*5¹ + 3*5⁰ = 75 + 5 + 3 = 83
    

Příklad D – převod z pětkové do desítkové

Převeďme 313 z r = 5 do desítkové:

3*5² + 1*5¹ + 3*5⁰ = 3*25 + 1*5 + 3*1 = 75 + 5 + 3 = 83
    

Příklad E – sčítání ve šestkové soustavě

Sečteme dvě čísla v r = 6: 3425₆ + 1543₆

Převod do desítkové:
3425₆ = 3*6³ + 4*6² + 2*6¹ + 5*6⁰ = 3*216 + 4*36 + 2*6 + 5 = 648 + 144 + 12 + 5 = 809
1543₆ = 1*6³ + 5*6² + 4*6¹ + 3*6⁰ = 1*216 + 5*36 + 4*6 + 3 = 216 + 180 + 24 + 3 = 423
Součet v desítkové: 809 + 423 = 1232
Převedeno zpět do šestkové: 1232₁₀ = 5412₆
(Tento postup lze také provést přímo sloupcově v soustavě 6 s přenosem.)
    

Příklad F – násobení v dvojkové soustavě

Násobení binárního čísla 10110101₂ číslem 10₂ (tj. 2₁₀) odpovídá posunu o jedno místo doleva:

10110101 × 10 = 101101010